確率分布とモーメント - 評価、分析について

モーメントは確率分布の特徴を表す量のこと。確率分布の平均、分散などをモーメントで表すことができる。モーメントはモーメント母数関数によって導かれる。

確率変数Xの原点まわりのモーメント $μ_r$ は以下のように表される。
$\mu_r=E(X^r)$

確率分布の平均（期待値）は確率変数の取りうる値×頻度（その値が取りうる確率の合計）で表される。これを数式で表すと離散確率変数の期待値は
$E(X)=\sum _{i}x_if(x)=\mu$

これを一般の場合に拡張して「確率変数Xの関数 $g(x)$ 」の期待値 $E(g(x))$ を以下のように定義する。
$E(g(x))=\sum g(x)f(x)=\mu$

この時、 $E(g(x))$ の特殊な場合として、先ほどのモーメント $E(X^r)$ を代入すると、
離散確率変数は
$E(X^r)=\sum _{i}x_{i}^{r}f(x)$

連続確率変数は
$E(X^r)=\int_{-\infty }^{\infty }x_{i}^{r}f(x)dx$
と表される。

また、期待値（平均）まわりのモーメントは ${\mu }'_{r}=E(X-\mu)^r$ で表される。これを先ほどと同様に代入すると、
離散確率変数は
$E(X-\mu)^r=\sum _{i}(x_{i}-\mu)^{r}f(x)$

連続確率変数は
$E(X-\mu)^r=\int_{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu)^{r}f(x)dx$
と表される。

また、r次の標準モーメントは以下のように表される。
$a_r=E{(x-\mu)/\sigma}^r$

確率変数Xの原点まわりのモーメントは $\mu_r=E(X^r)$ で表される。
平均まわりのモーメントは ${\mu }'_{r}=E(X-\mu)^r$ で表される。
モーメントはモーメント母関数によって導かれる（次回）。