評価、分析について

国際開発学分野の評価や統計的分析手法について勉強しています。日々学んだことを記録していきます。

確率変数の和

確率変数の和に関する平均と分散

２つの確率変数XとYの和の平均は、それぞれの平均を合計したものになります。

つまり、

E(X+Y)=E(X)+E(Y)=μ_x+μ_y

 

一方、XとYの和の分散は、それぞれの分散を合計したものに両者の共分散を加えたものになります。

つまり、

var(X+Y)=var(X)+var(Y)+2cov(X,Y)=σ^2_x+σ^2_y+2σ_xy

 

ただし、もしXYが独立ならば共分散はゼロになり両確率変数の和の分散は、次のようにそれぞれの分散の和になります。

var(X+Y)=var(X)+vat(Y)=σ^2_x+σ^2_y

 

同様に差の分散は以下のようになります。

var(X-Y)=var(X)+var(Y)-2cov(X,Y)=σ^2_x+σ^2_y-2σ_xy

 もし独立なら共分散は0です。

 

変数変換した場合の平均と分散

X, Y, Vはそれぞれ確率変数でXの平均と分散はμxとσ^2_x、XとYの共分散はcov(X,Y)、また、a,b,cは定数とします。このとき以下の関係式が導かれます。

 

E(a+bX+cY)=a+bμ_x+cμ_y

var(a+b_Y)=b^2σ^2_Y

var(aX+bY)=a^2σ^2_X+b^2σ^2_Y

E(Y^2)=σ^2_Y+μ^2_Y

→σ^2=E(Y^2)-E(Y)^2の式変形より導出

cov(a+bX+cV,Y)=bσ_XY+cσ_VY

E(XY)=σ_{XY}+μ_Xμ_Y

 

 ＜参考文献＞ 

Introduction to Econometrics, Update, Global Edition

Introduction to Econometrics, Update, Global Edition