独立性の検定

母集団で2つの変数の間に関連性があると言えるかどうかを、クロス表をもとにして判定する。カテゴリ変数の相関をみる時に用いる。連続変数の場合は、相関係数を算出する。ただし、連続変数の場合もカテゴリに分類しダミー変数を作れば独立性の検定を行うことができる。

検定の手順

1. 仮説の設定
帰無仮説：母集団では２つの変数は統計的に独立である（関連性ない）
対立仮説：母集団では２つの変数は統計的に独立でない（関連性あり）

※なお、 $x^{2}$ 値は必ず0以上の値しかとらないので、片側検定、両側検定という区別はない。

2. 臨界値を確認する
自由度が（クロス表の行数-1）x（クロス表の列数-1）の $x^{2}$ 分布表で臨界値を確認する。

3. $x^{2}$ 値を算出する

\begin{align}
x^{2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(O_j-E_j)^2}{E_j}
\end{align}

（Oは観察度数、Eは期待度数）

期待度数とは独立であったならばの確率。例えば、相関に関係がないなら各列（各行）の比は一定であるはず（全体の割合×全体の割合で決まる）。

4. 仮説検定
$2$ で求めた値が $3$ で確認した臨界値を超えていない→帰無仮説棄却されない。
臨界値を超えている→帰無仮説棄却。対立仮説採択される。

問題１

新聞A,B,Cのどれが好きか、男女それぞれに調査したところ、以下のような結果を得た。

	A	B	C
男	35	120	45
女	65	80	155

男女により好みに差があると言えるか、有意水準５％で検定せよ。

1.
帰無仮説：男女により好みに差がない（男女と新聞の好みが独立）
対立：男女により好みに差がある（独立でない）

2.
自由度(3-1)(2-1)=2、有意水準５％で片側（右側）なので棄却域は $x^2> x_{0.05}^{2}(2)=5.99$

3.
200*1/5=40...で各行計算すると以下のようになる。

	A	B	C	計
男	40	80	80	200
女	60	120	120	300
計	100	200	200	500

統計量は

${\displaystyle \sum \frac{(O-E)^2}{E} }$

${\displaystyle =\frac{(40-35)^2}{40}+\frac{(80-120)^2}{80}+\frac{(80-45)^2}{80}+\frac{(60-65)^2}{60}+\frac{(120-80)^2}{120}+\frac{(120-155)^2}{120} }$

$=59.9$

4.
$59.9>5.99$ より帰無仮説は棄却され、男女で好みに差があると言える。

問題２

曜日ごとの小売店Aへの問い合わせの回数を調査したところ以下のような結果を得た。

曜日	月	火	水	木	金	土	日	合計
回数	6	4	5	3	6	8	10	42

曜日により問い合わせの回数に差があると言えるか、有意水準５％で検定せよ。

1.
帰無仮説：曜日により問い合わせの回数に差がない（独立）
対立：曜日により問い合わせの回数に差がある（独立でない）

2.
自由度(7-1)(2-1)=6、有意水準５％で片側（右側）なので棄却域は $x^2> x_{0.05}^{2}(6)=12.59$

3.
期待度数を計算すると以下のとおりになる。

曜日	月	火	水	木	金	土	日	合計
回数	6	6	6	6	6	6	6	42

統計量は

$={\displaystyle \frac{(6-6)^2}{6}+\frac{(6-4)^2}{6}+\frac{(6-5)^2}{6}+\frac{(6-3)^2}{6}+\frac{(6-8)^2}{6}+\frac{(6-10)^2}{6} }$

$=34/6=5.67$

4.
$5.67< 12.59$ より帰無仮説は棄却できない