結合確率分布
例題
次の表は2つの離散型確率変数の結合確率分布を示す。
| 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 3/20 | 1/10 | 3/20 |
| 1 | 1/10 | 0 | 1/10 |
| 2 | 3/20 | 1/10 | 3/20 |
この時、
(a) Xの周辺分布とYの周辺分布を求めよ。
(b) E(X),E(Y),E(XY),V(X),V(Y)を求めよ。
(c) E(XY)=E(X)E(Y)は成り立つが、XとYは独立ではないことを示せ。
(d) Z=X+Yの分散を求めよ。
(a)周辺分布
Xの周辺分布
| x | 0 | 1 | 2 |
| P(X=x) | 2/5 | 1/5 | 2/5 |
Yの周辺分布
| y | 1 | 2 | 3 |
| P(Y=y) | 2/5 | 1/5 | 2/5 |
(b)期待値と分散
(c)独立性
が成り立つ。
しかし、たとえば
であるから独立ではない。
(d)
の分散
Zの確率分布の表を作成すると、以下のようになる。
| Z(x+y) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P(Z=z) | 3/20 | 1/5 | 3/10 | 1/5 | 3/20 |
であるから
=1+2=3
