母分散の推定

母集団の分布を特徴付ける定数を母数（パラメータ）といい、母数の値を標本をもとに推定する。
母数の値を推定することを点推定といい、母数の値の範囲を推定することを区間推定という。

標本により推定した、推定量の平均（期待値）( $\tilde{\theta }$ )が、母数( $\theta =\tilde{\theta }$ )と等しいとき、
$\tilde{\theta }$ を $\theta$ の不偏推定量という。

母分散の区間推定

正規分布 $N(μ,σ^2)$ (μは未知)に従う母集団から無作為に抽出した標本 $X_1, X_2,...,X_n$ を使って新たな確率変数 $V$ を以下のように定義する。

${ \displaystyle V=\sum_{i=1}^{n}\left (\frac{X_1-\bar{X}}{\sigma }\right )^2 }$

これが自由度(n-1)の $x^2$ 分布に従うことから、 $x^2$ 分布表から、

${ \displaystyle P(v_{n-1}(1-a/2)\leq V\leq v_{n-1}(a/2))=1-a }$ となる。

${ \displaystyle =P(v_{n-1}(1-a/2)\leq \sum_{i=1}^{n}\frac{(X_i-\bar{X})^2}{\sigma ^2}\leq v_{n-1}(a/2)) }$

${ \displaystyle =P(v_{n-1}(1-a/2)\leq \frac{n-1}{\sigma ^2}\cdot \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2\leq v_{n-1}(a/2)) }$

${ \displaystyle =P(v_{n-1}(1-a/2)\leq \frac{n-1}{\sigma ^2}\cdot s^2\leq v_{n-1}(a/2)) }$

$\sigma ^2$ について解くと、母分散 $\sigma ^2$ の信頼係数1-aの信頼区間は次のように示される。
${ \displaystyle \frac{(n-1)s^2}{v_{n-1}(\frac{a}{2})}\leq \sigma ^2\leq \frac{(n-1)s^2}{v_{n-1}(1-\frac{a}{2})} }$

問題
あるスーパーに入荷したリンゴの中から20個を無作為に選び重さを測定した。平均が120.3gで不偏標準偏差が8.6gの時、入荷したリンゴの平均の重さを信頼係数95％で区間推定せよ。
また、リンゴの重さの分散を信頼係数95％で区間推定せよ。ただしトマトの重さは正規分布に従うとする。

推定区間は
${ \displaystyle \frac{(n-1)s^2}{v_{n-1}(\frac{a}{2})}\leq \sigma ^2\leq \frac{(n-1)s^2}{v_{n-1}(1-\frac{a}{2})} }$

$x_{0.025}^{2}(20-1)=32.85, x_{0.975}^{2}(20-1)=8.91であることから、 { \displaystyle \frac{19\times 8.6^2}{32.85}=42.8 \leq \sigma ^2\leq \frac{19\times 8.6^2}{8.91}=157.7 }$

$\sigma ^2$ の信頼区間に関してまとめると以下のとおり。

有意水準a	0.05
標本数n	20
標準分散	8.6^2
$v_{n-1}(\frac{a}{2})$	32.35
$v_{n-1}(\frac{1-a}{2})$	8.91
$\sigma ^2$ の信頼区間	$42.8 \leq \sigma ^2\leq 157.7$