評価、分析について

国際開発学分野の評価や統計的分析手法について勉強しています。日々学んだことを記録していきます。

系列相関

系列相関とは

系列相関とは自己相関ともいい、時系列データを用いた回帰分析で問題になる。誤差項の間に相関関係があることを意味する。

通常の回帰分析においては、誤差項には系列相関がないことが仮定されている。もし系列相関がある状態で回帰分析を行うと、回帰係数はBLUEにはならず、推定値に疑問が残る。

具体的には、t値、F値、決定係数を大きめに計算してしまい、本当は有意でないものを有意であるとみなしてしまう。

 

系列相関がある例

誤差項uに１階の系列相関がある場合

被説明変数が一期前の自己の値と\varepsilon_iによって説明されるモデルを１階の自己回帰モデルという。AR（１）モデルと表される。 

 

Y_i=a+bX_i+u_i

u_i= \rho u_{i-1}+\varepsilon_i,   i=1,2,..., n

-1 \lt \rho \lt 1

 

hoは自己回帰係数、\varepsilon_iは確率誤差項。E(\varepsilon_i)=0, E(\varepsilon_i)^2=\sigma_{\varepsilon}^2, E(\varepsilon_i \varepsilon_j)=0

このとき、u_iは、 \rhoが正で大きければ、一期前のu_{i-1}と同じ方向に動く。もし \rhoが-1に近ければ、 u_iは、u_{i-1}と反対に動く。

 

系列相関と自己共分散

自己回帰係数\rhoはu_iとu_{i-1}の間の相関を表す。つまり、

 

自己共分散=Cov(u_i, u_{i-1})

自己相関係数={\displaystyle \rho=corr(u_t, u_{t-1})=\frac{Cov(u_i, u_{i-1})}{\sqrt{var(u_i)var(u_{i-1})}}}

 

誤差項に系列相関が生じる原因

・重要な説明変数がモデルから欠落している

・経済行動（消費、貯蓄、投資、輸出入など）における習慣性

・あるショックの経済的影響が期間内で終息せず、次期以降にも及ぶ場合。

・関数型の特定かの失敗

・時系列の回帰分析の時間単位が短いほど前期の影響を受けやすい

 

ダービン・ワトソン（DW）統計量

１階の系列相関が存在しているかどうかをチェックするための統計量。

OLSの残差をhat{u_t}とすると、

DW={\displaystyle \frac{\sum_{n}^{i}(\hat{u_t}-\hat{u_{t-1}})^2}{\sum_{n}^{i}\hat{u}^2}}

0 \leq DW \leq 4

 

ダービン・ワトソン統計量DWは、サンプル数が十分大きいとき（n \geq 30）、次式によって近似される。

DW \doteq 2(1-\hat{p})

\hat{p}=0ならばDW=2,   \hat{p}=1ならばDW=0,   \hat{p}=-1ならばDW=4

 

系列相関とDW統計量の関係

　 p DW
負の相関関係 -1<p<0 2<DW<4
系列相関なし p=0 DW=2
正の相関関係 0<p<1 0<DW<2

 

DW検定

1階の正の系列相関を見つける場合

帰無仮説 H0 p=0
対立仮説 H1 p>0

DW \lt d_L  \rightarrow H0を棄却（1階の正の系列相関あり）

d_L \leq DW \leq d_U  \rightarrow H0を棄却も採択もできない（判定不能）

d_L \lt DW  \rightarrow H0を採択（系列相関なし）

 

1階の負の系列相関を見つける場合

帰無仮説 H0 p=0
対立仮説 H1 p<0

4-d_L \lt DW  \rightarrow H0を棄却（1階の負の系列相関あり）

4-d_U \leq DW \leq 4-d_L \rightarrow H0を棄却も採択もできない（判定不能）

DW \lt d_L \rightarrow H0を採択（系列相関なし）

 

DW検定留意点

・定数項のない回帰モデルではDW検定は利用できない。

・回帰モデルの説明変数の中に、ラグ付き説明変数が入っている時も利用できない。→ダービンのh統計量を用いる。

・高次の系列相関には利用できない。→ブロシュ・ゴドフレイ検定

 

 

例題で学ぶ初歩からの計量経済学

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